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    2012热火夺冠:【山东成考专升本】数学1--函数的极值——重点

    山东成人高考网热火vs马刺第七场录像 www.sartot.net 发布时间: 2018年04月01日

    热火vs马刺第七场录像 www.sartot.net 考点三:函数的极值——重点

    函数的极值包括极大值和极小值,是一个局部概念,一个函数可能有多个极大值和极小值。求函数的极值有两种方法:第一充分条件—— 一阶导数法和第二充分条件—— 二阶导数法。主要考查:求函数的极值点和极值。

    1、第一充分条件—— 一阶导数法步骤

    (1) 确定函数【山东成考专升本】数学1--函数的极值——重点的定义域;

    (2) 求可能的极值点:求其导数【山东成考专升本】数学1--函数的极值——重点,解方程【山东成考专升本】数学1--函数的极值——重点求出【山东成考专升本】数学1--函数的极值——重点的全部驻点与不可导点;

    (3) 讨论【山东成考专升本】数学1--函数的极值——重点在驻点和不可导点左、右两侧邻近符号变化的情况,确定函数的极值点;

    (4) 求出各极值点的函数值,就得到函数【山东成考专升本】数学1--函数的极值——重点的全部极值.

    典型例题:求出函数【山东成考专升本】数学1--函数的极值——重点的极值.

     

    1)【山东成考专升本】数学1--函数的极值——重点

    2)【山东成考专升本】数学1--函数的极值——重点,【山东成考专升本】数学1--函数的极值——重点得驻点【山东成考专升本】数学1--函数的极值——重点

    3)列表讨论如下:

    【山东成考专升本】数学1--函数的极值——重点

    【山东成考专升本】数学1--函数的极值——重点

    【山东成考专升本】数学1--函数的极值——重点

    【山东成考专升本】数学1--函数的极值——重点

    【山东成考专升本】数学1--函数的极值——重点

    【山东成考专升本】数学1--函数的极值——重点

    【山东成考专升本】数学1--函数的极值——重点

    0

    0

    【山东成考专升本】数学1--函数的极值——重点

    极大值

    极小值

    4)所以, 极大值【山东成考专升本】数学1--函数的极值——重点极小值【山东成考专升本】数学1--函数的极值——重点

    【山东成考专升本】数学1--函数的极值——重点 

    【注】

    1)函数可能的极值点为驻点和不可导点(【山东成考专升本】数学1--函数的极值——重点【山东成考专升本】数学1--函数的极值——重点不存在的点)。

    2)一阶导数法求极值就是利用单调性来判别极值,其步骤和判别单调性相似。

    2、第二种充分条件——二阶导数法

    第二充分条件其实就是利用二阶导数求函数的极值,可利用函数的凸凹性记忆。

    设函数f(x)在点x0处具有二阶导数且f (x0)=0, f (x0)10, 那么

    (1) 当f (x0)<0时, 函数f(x)在x0处取得极大值; 

    (2) 当f (x0)>0时, 函数f(x)在x0处取得极小值; 

    典型例题:求出函数【山东成考专升本】数学1--函数的极值——重点的极值.

      【山东成考专升本】数学1--函数的极值——重点

    【山东成考专升本】数学1--函数的极值——重点得驻点【山东成考专升本】数学1--函数的极值——重点

    【山东成考专升本】数学1--函数的极值——重点【山东成考专升本】数学1--函数的极值——重点故极大值【山东成考专升本】数学1--函数的极值——重点【山东成考专升本】数学1--函数的极值——重点

    故极小值【山东成考专升本】数学1--函数的极值——重点

    【山东成考专升本】数学1--函数的极值——重点 

    【注】【山东成考专升本】数学1--函数的极值——重点, 【山东成考专升本】数学1--函数的极值——重点在点 【山东成考专升本】数学1--函数的极值——重点处不一定取极值, 仍用第一充分条件进行判断.

    【山东成考专升本】数学1--函数的极值——重点 函数的不可导点, 也可能是函数的极值点.

     

    考点四:函数的最大值和最小值(重点)

    函数的最值是??嫉闹兜?,主要包括:函数在给定闭区间上最大值和最小值的求法、实际问题中的最值问题。

    1、函数在给定闭区间上最大值和最小值的求法: 

    计算函数【山东成考专升本】数学1--函数的极值——重点在一切可能极值点的函数值,并将它们与【山东成考专升本】数学1--函数的极值——重点【山东成考专升本】数学1--函数的极值——重点相比较,这些值中最大的就是最大值,最小的就是最小值;

    (函数的最大值在极值点和端点取得)

    典型例题:【山东成考专升本】数学1--函数的极值——重点【山东成考专升本】数学1--函数的极值——重点上的最大值与最小值.

      【山东成考专升本】数学1--函数的极值——重点  解方程【山东成考专升本】数学1--函数的极值——重点【山东成考专升本】数学1--函数的极值——重点

    计算【山东成考专升本】数学1--函数的极值——重点【山东成考专升本】数学1--函数的极值——重点【山东成考专升本】数学1--函数的极值——重点【山东成考专升本】数学1--函数的极值——重点 

    比较得最大值【山东成考专升本】数学1--函数的极值——重点 最小值【山东成考专升本】数学1--函数的极值——重点

    【山东成考专升本】数学1--函数的极值——重点 

    2、实际问题中的最值问题

    典型例题:设抛物线【山东成考专升本】数学1--函数的极值——重点【山东成考专升本】数学1--函数的极值——重点轴的交点为【山东成考专升本】数学1--函数的极值——重点,在他们所围成的平面区域内,以线段【山东成考专升本】数学1--函数的极值——重点为下底做内接等腰梯形【山东成考专升本】数学1--函数的极值——重点,设梯形的上底【山东成考专升本】数学1--函数的极值——重点长为【山东成考专升本】数学1--函数的极值——重点,面积为【山东成考专升本】数学1--函数的极值——重点。

    a)写出【山东成考专升本】数学1--函数的极值——重点的表达式;

    b)求【山东成考专升本】数学1--函数的极值——重点的最大值。

    解:

    1)先求交点,由【山东成考专升本】数学1--函数的极值——重点,解得【山东成考专升本】数学1--函数的极值——重点,所以交点【山东成考专升本】数学1--函数的极值——重点的坐标分别为【山东成考专升本】数学1--函数的极值——重点,【山东成考专升本】数学1--函数的极值——重点,【山东成考专升本】数学1--函数的极值——重点,所以:

    【山东成考专升本】数学1--函数的极值——重点

    2)【山东成考专升本】数学1--函数的极值——重点,得到【山东成考专升本】数学1--函数的极值——重点【山东成考专升本】数学1--函数的极值——重点(舍去);

    由所给问题得实际意义知: 【山东成考专升本】数学1--函数的极值——重点时,【山东成考专升本】数学1--函数的极值——重点达到最大,最大值【山东成考专升本】数学1--函数的极值——重点。

    【山东成考专升本】数学1--函数的极值——重点 

     

    考点五:曲线的凹凸性的判别(凹凸区间和拐点)

    确定曲线y=f(x)的凹凸区间和拐点的步骤: 

    (1) 求函数的二阶导数【山东成考专升本】数学1--函数的极值——重点;

    (2) 令【山东成考专升本】数学1--函数的极值——重点,解出全部实根,并求出所有使二阶导数不存在的点;

    (3) 对步骤(2)中求出的每一个点,检查其邻近左、右两侧【山东成考专升本】数学1--函数的极值——重点的符号,确定曲线的凹凸区间和拐点.

    典型例题:求曲线y=3x 4-4x 3+1的拐点及凹、凸的区间. 

    : 

    (1)函数y=3x 4-4x 3+1的定义域为(-, +); 

    (2)【山东成考专升本】数学1--函数的极值——重点,【山东成考专升本】数学1--函数的极值——重点; 

    (3)解方程y=0, 【山东成考专升本】数学1--函数的极值——重点, 【山东成考专升本】数学1--函数的极值——重点; 

    (4)列表判断: 

    【山东成考专升本】数学1--函数的极值——重点 

    在区间(-, 0]和[2/3, +)上曲线是凹的, 在区间[0, 2/3]上曲线是凸的. (0, 1)和(2/3, 11/27)是曲线的拐点. 

    往年真题:曲线【山东成考专升本】数学1--函数的极值——重点的拐点坐标为_______。

    解:【山东成考专升本】数学1--函数的极值——重点,【山东成考专升本】数学1--函数的极值——重点,

    y=0, 【山东成考专升本】数学1--函数的极值——重点.

    因为当【山东成考专升本】数学1--函数的极值——重点, y>0; 【山东成考专升本】数学1--函数的极值——重点, y<0, 所以点(0,1)是曲线的拐点.

     

    考点六:求曲线的渐近线(作为了解即可)

    在某个变化过程中曲线逐渐靠近担永远不可能达到的那条直线。

    1、水平渐近线:

    【山东成考专升本】数学1--函数的极值——重点,则直线【山东成考专升本】数学1--函数的极值——重点为水平渐近线

    例:【山东成考专升本】数学1--函数的极值——重点

    【山东成考专升本】数学1--函数的极值——重点 

    铅直渐近线:(其实就是分母为零而分子不为零的点【山东成考专升本】数学1--函数的极值——重点

    【山东成考专升本】数学1--函数的极值——重点,则直线【山东成考专升本】数学1--函数的极值——重点为铅直渐近线

    【山东成考专升本】数学1--函数的极值——重点 

    、求【山东成考专升本】数学1--函数的极值——重点 渐近线

    解:【山东成考专升本】数学1--函数的极值——重点       ∴ 【山东成考专升本】数学1--函数的极值——重点为水平渐近线

    【山东成考专升本】数学1--函数的极值——重点       ∴ 【山东成考专升本】数学1--函数的极值——重点垂直渐近线。(【山东成考专升本】数学1--函数的极值——重点时分母为零而分子不为零)

     求函数【山东成考专升本】数学1--函数的极值——重点的渐近线.

     【山东成考专升本】数学1--函数的极值——重点【山东成考专升本】数学1--函数的极值——重点【山东成考专升本】数学1--函数的极值——重点 得水平渐近线【山东成考专升本】数学1--函数的极值——重点

    【山东成考专升本】数学1--函数的极值——重点【山东成考专升本】数学1--函数的极值——重点【山东成考专升本】数学1--函数的极值——重点 得铅直渐近线【山东成考专升本】数学1--函数的极值——重点【山东成考专升本】数学1--函数的极值——重点时分母为零而分子不为零)


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